花嫁

ある五つ子で合計12回シコり、それぞれでシコった回数に出生順の番号を掛けた数(例:三女で99回シコった場合、3×99=297)の5つの和が44であるとする。それぞれでシコった回数の積を五等分した商のうち、整数であるものを全て求めよ。('19 萌豚大)

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 (解答)

場合分けし、シコった回数の積を導く。

 

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[Ⅰ]シコっていない者が存在する場合

それぞれでシコった回数のうち、少なくとも1つが 0 となる。

したがってシコった回数の積も 0 となる。

なお、例えば長女で4回、五女で8回シコり、他のいずれもでシコらなかった場合が題意を満たすため、このような回数の組み合わせは存在する。

 

 

[Ⅱ]いずれでも1回以上シコった場合

n 女でシコった回数を a_n(n=1,...,5) とする。

問題および場合分けの仮定より、以下が成り立つ:


① a_1+a_2+a_3+a_4+a_5= 12
② a_1+2a_2+3a_3+4a_4+5a_5= 44
③ 各a_nについて、a_n \geq 1

 

いま、シコった回数の積 a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 を五等分した値が整数である場合を考えるので、 a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 は5の倍数である。各 a_n自然数であるから、 a_1,...,a_5 のうち 5 を素因数に持つものが少なくとも1つ存在する。

5 を素因数に持つものが2つあると仮定する。このとき、③より、①の左辺は13以上となり、不適。5 を素因数に持つものが3つ、4つ、5つである場合や、それが 10,15,... である場合も同様である。

以上より、a_1,...,a_5 のうち 5 を素因数に持つものはただ1つ存在し、その値は 5 である。以下、誰で5回シコったかにより場合分けを行う。

 

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(ⅰ)長女で5回シコった場合

a_1=5 を①、②に代入すると、

 

④ a_2+a_3+a_4+a_5= 7
⑤ 2a_2+3a_3+4a_4+5a_5= 39

 

これらの差を取ると、

 

⑥ a_3+2a_4+3a_5= 25 

 

となるが、③および④より a_2,...,a_5 が取りうる値は 1,2,3,4 のいずれかとなるから、⑥の左辺は 24 以下となり、不適。

 

(ⅱ)二女で5回シコった場合

(ⅰ)と同様に、

 

2a_3+3a_4+4a_5= 27

 

を得るが、左辺の最大値は (a_3,a_4,a_5)=(1,1,4) であるときの 21 であるため、不適。

 

 

(ⅲ)三女で5回シコった場合

同様に、

 

a_2+3a_4+4a_5= 22

 

を得るが、左辺の最大値は (a_3,a_4,a_5)=(1,1,4) であるときの 20 であるため、不適。

 

 

(ⅳ)四女で5回シコった場合

同様に、

 

a_2+2a_3+4a_5= 17

 

を得る。左辺の値を大きい順に調べると、

(a_2,a_3,a_5)=(1,1,4) ⇒ a_2+2a_3+4a_5= 19

(a_2,a_3,a_5)=(1,2,3) ⇒ a_2+2a_3+4a_5= 17

(a_2,a_3,a_5)=(2,1,3) ⇒ a_2+2a_3+4a_5= 16

(a_2,a_3,a_5)=(1,1,3) ⇒ a_2+2a_3+4a_5= 15

(a_2,a_3,a_5)=(1,3,2) ⇒ a_2+2a_3+4a_5= 15

(a_2,a_3,a_5)=(2,2,2) ⇒ a_2+2a_3+4a_5= 14

...

 

となり、 (a_2,a_3,a_5)=(1,2,3) が適当。

 

 

(ⅴ)五女で5回シコった場合

同様に、

 

a_2+2a_3+3a_4= 12

 

を得る。左辺の値を大きい順に調べると、

(a_2,a_3,a_4)=(1,1,4) ⇒ a_2+2a_3+3a_4= 15

(a_2,a_3,a_4)=(1,2,3) ⇒ a_2+2a_3+3a_4= 14

(a_2,a_3,a_4)=(2,1,3) ⇒ a_2+2a_3+3a_4= 13

(a_2,a_3,a_4)=(1,3,2) ⇒ a_2+2a_3+3a_4= 13

(a_2,a_3,a_4)=(1,1,3) ⇒ a_2+2a_3+3a_4= 12

(a_2,a_3,a_4)=(2,2,2) ⇒ a_2+2a_3+3a_4= 12

(a_2,a_3,a_4)=(1,4,1) ⇒ a_2+2a_3+3a_4= 12

(a_2,a_3,a_4)=(3,1,2) ⇒ a_2+2a_3+3a_4= 11

...

 

となり、 (a_2,a_3,a_4)=(1,1,3),(2,2,2),(1,4,1) が適当。

 

 

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(ⅰ)~(ⅴ)より、

 (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(1,1,2,5,3),(2,1,1,3,5),(1,2,2,2,5),(1,1,4,1,5)

であり、積は a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 = 20,30,40 となる。

 

 

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[Ⅰ]および[Ⅱ]から、積は a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 = 0,20,30,40 となる。これらを五等分し、求める商は 0,4,6,8 である。(終)