気持ち悪いブログ

花嫁

ある五つ子で合計12回シコり、それぞれでシコった回数に出生順の番号を掛けた数（例:三女で99回シコった場合、3×99=297）の5つの和が44であるとする。それぞれでシコった回数の積を五等分した商のうち、整数であるものを全て求めよ。（'19 萌豚大）

（解答）

場合分けし、シコった回数の積を導く。

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［Ⅰ］シコっていない者が存在する場合

それぞれでシコった回数のうち、少なくとも1つが $0$ となる。

したがってシコった回数の積も $0$ となる。

なお、例えば長女で4回、五女で8回シコり、他のいずれもでシコらなかった場合が題意を満たすため、このような回数の組み合わせは存在する。

［Ⅱ］いずれでも1回以上シコった場合

第 $n$ 女でシコった回数を $a_n(n=1,...,5)$ とする。

問題および場合分けの仮定より、以下が成り立つ:

①　 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5= 12$
②　 $a_1+2a_2+3a_3+4a_4+5a_5= 44$
③　各 $a_n$ について、 $a_n \geq 1$

いま、シコった回数の積 $a_1 a_2 a_3 a_4 a_5$ を五等分した値が整数である場合を考えるので、 $a_1 a_2 a_3 a_4 a_5$ は5の倍数である。各 $a_n$ は自然数であるから、 $a_1,...,a_5$ のうち $5$ を素因数に持つものが少なくとも1つ存在する。

$5$ を素因数に持つものが2つあると仮定する。このとき、③より、①の左辺は13以上となり、不適。 $5$ を素因数に持つものが3つ、4つ、5つである場合や、それが $10,15,...$ である場合も同様である。

以上より、 $a_1,...,a_5$ のうち $5$ を素因数に持つものはただ1つ存在し、その値は $5$ である。以下、誰で5回シコったかにより場合分けを行う。

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（ⅰ）長女で5回シコった場合

$a_1=5$ を①、②に代入すると、

④　 $a_2+a_3+a_4+a_5= 7$
⑤　 $2a_2+3a_3+4a_4+5a_5= 39$

これらの差を取ると、

⑥　 $a_3+2a_4+3a_5= 25$

となるが、③および④より $a_2,...,a_5$ が取りうる値は $1,2,3,4$ のいずれかとなるから、⑥の左辺は $24$ 以下となり、不適。

（ⅱ）二女で5回シコった場合

（ⅰ）と同様に、

$2a_3+3a_4+4a_5= 27$

を得るが、左辺の最大値は $(a_3,a_4,a_5)=(1,1,4)$ であるときの $21$ であるため、不適。

（ⅲ）三女で5回シコった場合

同様に、

$a_2+3a_4+4a_5= 22$

を得るが、左辺の最大値は $(a_3,a_4,a_5)=(1,1,4)$ であるときの $20$ であるため、不適。

（ⅳ）四女で5回シコった場合

同様に、

$a_2+2a_3+4a_5= 17$

を得る。左辺の値を大きい順に調べると、

$(a_2,a_3,a_5)=(1,1,4)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+4a_5= 19$

$(a_2,a_3,a_5)=(1,2,3)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+4a_5= 17$

$(a_2,a_3,a_5)=(2,1,3)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+4a_5= 16$

$(a_2,a_3,a_5)=(1,1,3)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+4a_5= 15$

$(a_2,a_3,a_5)=(1,3,2)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+4a_5= 15$

$(a_2,a_3,a_5)=(2,2,2)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+4a_5= 14$

...

となり、 $(a_2,a_3,a_5)=(1,2,3)$ が適当。

（ⅴ）五女で5回シコった場合

同様に、

$a_2+2a_3+3a_4= 12$

を得る。左辺の値を大きい順に調べると、

$(a_2,a_3,a_4)=(1,1,4)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+3a_4= 15$

$(a_2,a_3,a_4)=(1,2,3)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+3a_4= 14$

$(a_2,a_3,a_4)=(2,1,3)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+3a_4= 13$

$(a_2,a_3,a_4)=(1,3,2)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+3a_4= 13$

$(a_2,a_3,a_4)=(1,1,3)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+3a_4= 12$

$(a_2,a_3,a_4)=(2,2,2)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+3a_4= 12$

$(a_2,a_3,a_4)=(1,4,1)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+3a_4= 12$

$(a_2,a_3,a_4)=(3,1,2)$ 　⇒　 $a_2+2a_3+3a_4= 11$

...

となり、 $(a_2,a_3,a_4)=(1,1,3),(2,2,2),(1,4,1)$ が適当。

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（ⅰ）～（ⅴ）より、

$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(1,1,2,5,3),(2,1,1,3,5),(1,2,2,2,5),(1,1,4,1,5)$

であり、積は $a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 = 20,30,40$ となる。

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［Ⅰ］および［Ⅱ］から、積は $a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 = 0,20,30,40$ となる。これらを五等分し、求める商は $0,4,6,8$ である。（終）